Funciones acotadas
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Definición
Se dice que un conjunto
de números reales está acotado superiormente ( inferiormente ) si existe un
número real
que es
mayor ( menor ) o igual que todos los elementos de
.
A este número real se le llama cota superior ( inferior ).
Si
es una cota superior del conjunto
,
entonces, cualquier numero mayor ( menor ) que
es tambien una cota superior ( inferior ) de
Ejemplo
El intervalo
es un conjunto acotado superiormente porque
Tambien está acotado inferiormente porque
Definición
Una función
está acotada superiormente si su recorrido está acotado superiormente, es decir,
si existe un número
tal que
en el dominio de
Análogamente,
está acotada inferiormente si su recorrido está acotado inferiormente, es decir,
si existe un número
tal que
en el dominio de
Una función acotada es aquella que está acotada superior e inferiormente.
Ejemplo
El recorrido de la función
es el intervalo cerrado
.
Como este intervalo está acotado, tanto superior como inferiormente,
la función
está acotada tanto superior como inferiormente, es decir, la función
está acotada.
Propiedades
Propiedad 1
En la gráfica de
, el que
esté acotada superiormente ( inferiormente ) se traduce en que existe una linea horizontal (
paralela al eje
), tal que ningun punto de la gráfica se encuentra por encima ( debajo ) de dicha recta.
Propiedad 2
Una función
con una asíntota vertical
no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente.
Mas concretamente:
- Si existe un número real
,
tal que
o
, entonces
no está acotada superiormente.
- Recíprocamente, si existe un número real
,
tal que
o
, entonces
no está acotada inferiormente.
Propiedad 3
Si
o
,
entonces
NO está acotada superiormente.
Si
o
,
entonces
NO está acotada inferiormente.
Ejemplo
La función
tiene una asíntota vertical de ecuación
.
Por lo tanto, la función
no está acotada.
Para averiguar si está acotada superior o inferiormente, calculamos cada uno de los siguientes limites laterales:
y
El primero es
y el segundo es
.
Por lo tanto,
no está acotada ni superior, ni inferiormente.
Ejemplo
Por lo tanto,
no está acotada superiormente.
Ejemplo
Máximos y mínimos
Un conjunto de números reales acotado superiormente
tiene máximo si la menor de las cotas superiores de
pertenece a
. El máximo de
sería, de existir, la menor de las cotas superiores de
.
Ejemplo
El intervalo
está acotado superiormente, pero no tiene máximo, ya que la mayor de las
cotas superiores es 2 que NO pertenece a dicho intervalo.
Ejemplo
El intervalo
está acotado superiormente y tiene máximo, ya que la mayor de las
cotas superiores es 2 que SI pertenece al intervalo.
Máximos y mínimos absolutos de una función
Una función
se dice que alcanza el valor máximo en
y que dicho valor máximo es
,
si
en el dominio de
Recíprocamente,
alcanza su valor mínimo en
y su valor mínimo es
,
si
en el dominio de
Por lo tanto el valor máximo ( mínimo ) que alcanza una función es el máximo ( mínimo ) de su recorrido.
Si cuando
decimos que el "punto
está mas alto que el punto
", entonces el máximo absoluto de
correspondería al punto mas "alto" de su gráfica y el mínimo absoluto de
correspondería al punto mas "bajo" de su gráfica.
